1.1 Notación de vectores y matrices
Como hemos comentado, la información de partida en análisis multivariante es un conjunto de datos correspondiente a distintas variables medidas en los elementos de una muestra. Las observaciones correspondientes a cada individuo vendrán dadas por un vector y el conjunto de observaciones de la muestra por una matriz. Por lo tanto, la manipulación de datos multivariantes se simplificará mucho utilizando conceptos de matrices y sus propiedades.
Representamos el vector1 \(\bm{x}\in\mathbb{R}^d\) como el vector columna \(d\times 1\).
\[\bm{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_d \end{array}\right).\]
El vector \(d\times 1\) con todas sus componentes iguales a uno se denotará como \(\bm{1_d}\). Representamos la matriz \(\bm{A}=(a_{ij})\) de tamaño \(m\times n\) como
\[\bm{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right).\]
La traspuesta de \(\bm{A}\) se denota \(\bm{A}^\prime{}\). Si \(\bm{A}\) es una matriz cuadrada, su determinante se denota \(\left|\bm{A}\right|\) y su traza \(\textnormal{tr}(\bm{A})\). Si \(\bm{A}\) es no singular (\(\left|\bm{A}\right|\neq 0\)), su inversa se denota como \(\bm{A^{-1}}\). La matriz \(n\times n\) con elementos \(d_1,\ldots, d_n\) en la diagonal y ceros fuera de ella se denota \(\textnormal{diag}(d_1,\ldots,d_n).\) La matriz identidad \(n\times n\) se denota \(\bm{I_n}\). En el Anexo B encontrarás algunos de los resultados fundamentales de álgebra lineal, que nos servirán de ayuda en los próximos capítulos.
Como es habitual en la literatura de análisis multivariante y para evitar confusión entre escalares, vectores y matrices, denotaremos los vectores con letras minúsculas en negrita y las matrices con letras mayúsculas en negrita. Según esta notación, tanto variables aleatorias como sus valores observados se representarán mediante letras minúsculas.↩︎