B.3 Matrices definidas positivas
Una matriz simétrica \(\bm{A}\) se dice definida positiva si y solo si \(\bm{x}^\prime{}\bm{A}\bm{x}> 0\) para todo \(\bm{x}\), con \(\bm{x}\neq 0\). Observamos que toda matriz definida positiva es también semidefinida positiva.
Una matriz simétrica \(\bm{A}\) es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son positivos.
Si \(\bm{A}\) es semidefinida positiva y \(\left|\bm{A}\right|\neq 0\), entonces \(\bm{A}\) es definida positiva.
\(\bm{A}\) es definida positiva si y solo si existe una matriz no singular \(\bm{R}\) tal que \(\bm{A}=\bm{R}^\prime{}\bm{R}\).
Si \(\bm{A}\) es definida positiva entonces existe una matriz definida positiva \(\bm{A^{1/2}}\), tal que \(\bm{A}=(\bm{A^{1/2}})^2\).
Si \(\bm{A}\) es definida positiva también lo es \(\bm{A}^{-1}\).
Si \(\bm{A}\) es una matriz definida positiva de tamaño \(n\times n\) y \(\bm{C}\) es una matriz \(p\times n\) de rango \(p\), entonces \(\bm{C}\bm{A}\bm{C}^\prime{}\) es definida positiva.
Descomposición de Choleski. Si \(\bm{A}\) es definida positiva existe una única matriz triangular superior \(\bm{U}\) con elementos positivos en la diagonal tal que \(\bm{A}=\bm{U}^\prime{}\bm{U}\). También existe una única matriz triangular inferior \(\bm{L}\) con elementos positivos en la diagonal tal que \(\bm{A}=\bm{L}^\prime{}\bm{L}\).